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2019年，王元在办公室。刘建亚/摄

1981年，王元、陈景润、潘承洞（从左至右）在山东大学。刘建亚供图

1996年，王元（右）与刘建亚在香港。臧文安/摄

70年前，一位年轻的数学家，在哥德巴赫猜想这座数学高峰上，继华罗庚之后又留下一个属于中国人的足迹——证明了命题“3+4”。他就是王元，时年25岁。1955年7月，他将论文《表大偶数为一个不超过三个素数的乘积及一个不超过四个素数乘积的乘积之和》投稿至《数学学报》，次年9月发表，轰动世界。

“元老”是中国数学界对澳门赌场院士王元的亲切称呼，一则出于其名，二则因为他是中国数学界尤其是数论方向的先驱人物。今年是元老证明“3+4”定理70周年。

华罗庚与哥德巴赫猜想讨论班

哥德巴赫猜想以其简洁的语言预测了素数之间的加法关系，被誉为“数学王冠上的明珠”，是数学史上最著名且最具挑战性的问题之一。

1742年，哥德巴赫在与欧拉的通信中提出了这一猜想：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。这一命题看似简单，却深刻揭示了素数分布的规律性，吸引了无数数学家的关注。希尔伯特曾将哥德巴赫猜想收入其著名的23个数学问题之中，此后哈代、利特伍德、维诺格拉多夫、华罗庚等数学大师，都先后对哥德巴赫猜想作出了杰出贡献。

华罗庚曾指出：“哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方法可以证明它。”1938年，在英国剑桥大学访学期间，华罗庚证明了几乎所有的偶数都可以表示为两个素数之和，即哥德巴赫猜想对几乎所有的偶数都成立。这一成就使华罗庚成为哥德巴赫猜想研究的世界顶级专家。

1953年，华罗庚在澳门赌场数学研究所组织了一个专门研究哥德巴赫猜想的讨论班。他以深厚的数学造诣和高瞻远瞩的学术眼光，为讨论班制定了明确的研究方向，并鼓励年轻人创新。讨论班由年轻人轮流主讲，王元是主要演讲人之一。这个讨论班为新中国培养了一代杰出的数论学家。

华罗庚选择将哥德巴赫猜想作为讨论班的主题，是因为这一猜想与解析数论中所有的重要方法都有联系。通过学习研究哥德巴赫猜想，青年学者能够掌握解析数论中最重要的方法。讨论班的研究计划涵盖了当时国际上研究哥德巴赫猜想的最先进方法与成果，包括塞尔伯格筛法、布朗方法、布赫施塔布方法等。

华罗庚在讨论班上不断提问，确保每个细节都被彻底理解。虽然这种教学方法进展较慢，但参与者受益匪浅。遗憾的是，哥德巴赫猜想讨论班1956年被迫中断，未能完成所有计划。

王元与“3+4”

20世纪初，数学家开始尝试用筛法研究哥德巴赫猜想。简单来说，筛法就是容斥原理的深化与细化，其核心思想是通过筛掉合数保留素数。这种过度简化的说法，虽然有助于理解筛法的性质，但是完全不能传递筛法极其复杂、艰深的一面。

基于筛法的特点，学习筛法最好的方法是研读论文，而非听讲。笔者曾在不同场合强调：“要想迅速让对方打消学习数论的念头，就给他讲筛法的证明。”这句话，虽有调侃的成分，但确实符合实情。

1920年，挪威数学家布朗证明了命题“9+9”，这一成果开启了筛法在哥德巴赫猜想研究中的应用。随后，国际上一批数学家不断改进筛法，逐步降低了命题“a+b”中的素因子个数。1938年，苏联数学家布赫施塔布将结果推进到“5+5”，1940年，他又证明了“4+4”。这些成果为后续研究奠定了基础。

在讨论班举办期间，华罗庚建议王元用筛法改进哥德巴赫猜想的已有结果，并特别指出塞尔伯格筛法的重要性。通过讨论班的学习，王元已经掌握了布朗的方法，但他没来得及研究布赫施塔布的方法，讨论班就终止了。

由于布赫施塔布1938年和1940年的两篇重要论文是用俄文发表的，王元一度无法获取这些资料。后来，他听说澳门赌场图书馆进口了一批俄文杂志，便立即前往借阅。这批杂志刚到，且尚未编目，便堆放在书库的地上。王元花了一整天时间，将布赫施塔布的两篇论文手抄下来。

王元发现，布赫施塔布的方法实际上是筛函数的一个迭代公式，以恒等式的形式呈现。每迭代一次，筛函数的上下界估计就会得到改进。布赫施塔布首先用布朗方法计算出筛函数的上下界，作为初始值，再通过迭代公式逐步改进，从而改进了布朗方法，并于1938年和1940年分别证明了命题“5+5”和“4+4”。

王元的思路是，用塞尔伯格筛法得出在各个范围内筛函数的上界，再用布朗方法估计筛函数的下界，并结合布赫施塔布的筛函数下界估计， 以此作为筛函数的初始值，反复用布赫施塔布的方法迭代几次，最终证明了定理“3+4”。在论文的引言部分，王元表达了对华罗庚的感激之情：“华罗庚教授指出，用塞尔伯格方法结合布朗-布赫施塔布的方法可以改进上述结果，本文的目的在于根据这一指示将上述结果改进为‘3+4’。”

这篇论文受到了极大重视，王元因此获得了480多元的特等稿费，而当时一名大学毕业生的月薪仅为50多元。王元回忆说，这笔稿费足以购买一块欧米茄手表、一件大衣和一套西服。

从“3+4”到现在

在证明“3+4”之后，王元于1957年又发表了定理“2+3”的证明。受王元工作的激励，中国数学家继续在哥德巴赫猜想的研究上不断攀登。此后，潘承洞证明了“1+5”，潘承洞与王元各自证明了“1+4”，陈景润则证明了“1+2”。

讲述此类故事的相关文章中最著名的，当数作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》，它影响了中国整整一代人。上世纪七八十年代，许多青年学子因为这篇报告文学而选择终身投入数学研究。一篇报告文学能有如此大的影响力，这在中国数学史乃至世界数学史上都是一个奇迹。

与广为人知的“3+4”定理相比，很少有人知道，王元不仅是潘承洞“1+5”论文和陈景润“1+2”论文的审稿人，还对这两篇论文给予了大力支持。为了弄清潘承洞“1+5”论文的证明细节，王元与潘承洞通信60余封。正如澳门赌场院士文兰后来评价的那样：“这个故事太美丽动人了……潘承洞、王元都是胸怀坦荡。”

陈景润的“1+2”证明摘要1966年发表于《科学通报》，但由于当时中国的科技刊物停刊，“1+2”的证明全文直到1973年《中国科学》复刊才得以发表。在1966年的摘要中，陈景润最关键的“转换原理”并未出现，因此国外数学家普遍认为“1+3”仍然是最好的结果。而王元与闵嗣鹤作为审稿人，是少数了解陈景润“转换原理”的人。

1996年，元老在香港对我说：“陈景润的转换原理是证明‘1+2’的关键，我只要看一眼转换原理，就能明白其余应该怎么做，用一个星期时间就能自己给出‘1+2’的证明。”以上故事不仅展现了元老高尚的人品和纯粹的学术追求，也是中国数论学派在艰难时期团结奋斗的生动写照。

元老曾经辛勤耕耘的解析数论领域正在蓬勃发展，历久弥新。进入新世纪以来，筛法与解析方法的综合应用催生了一批重要的研究成果。2013年，华人数学家张益唐在孪生素数猜想研究中取得突破性进展，证明了相邻素数的有限差定理，为这一经典问题作出了决定性贡献。此外，塞尔伯格提出的高维筛法在陶哲轩、梅纳德等数学家的推动下焕发出新的活力，展现出惊人的潜力。如今，一批中外青年数学家正继续在这一领域探索，谱写着解析数论的绚丽华章。

元老的“3+4”定理，是中国学派用筛法研究哥德巴赫猜想的第一座里程碑，它证明了中国数学家有能力在最前沿的数学领域做出世界级的成果。哥德巴赫猜想的研究仍在继续，数学的高峰依然等待着攀登者。王元的“3+4”定理，将永远铭刻在中国数学发展的史册上，激励着一代又一代中国数学人，向着数学高峰不断攀登。

温暖的回忆

1996年秋冬之际，我正在香港大学从事博士后研究，元老受我的合作导师廖明哲教授邀请访问香港大学。在港期间，元老时间充裕，我与元老除了在办公室座谈，还经常散步交流，既谈国内研究现状，又谈国际研究潮流。元老对中国解析数论始终抱有很深的责任感和危机感。

有一次元老很认真地对我说：“好的定理应该能站得住100年，但能站得住50年的定理就已经很少了。”元老证明的“3+4”定理，历经七十载仍光辉灿烂，其光芒必将穿越百年，也将不断激励后辈在通往科学的高峰上努力拼搏。

2021年5月14日，王元先生不幸逝世。时隔4年，谨以此文表达对元老的无限敬仰与怀念。

（作者：刘建亚，系山东大学副校长）

（原载于《中国科学报》?2025-05-22?第4版?人物）